内角の和の求め方｜なぜ180×(N-2)？丸暗記脱出の裏技と証明

内角の和の求め方｜なぜ180×(N-2)？丸暗記脱出の裏技と証明について徹底解説いたします。最新の情報をお届けします。

Q1：凹み（へこみ）がある多角形でも、内角の和の公式「180×(n-2)」は使える？
A1：はい、内角の1つが180度を超えるような凹多角形であっても、辺が交差しない単純多角形であれば内角の和は常に「180°×(n-2)」となります。ただし、特定の頂点から対角線を引く際に図形の外部を通ってしまう場合があるため、三角形分割の証明には工夫が必要です。高校受験で出題される図形は基本的に凸多角形（へこみのない形）ですが、性質としては凹多角形でも厳密に成立します。

Q2：正何角形の内角であっても、必ず整数になりますか？
A2：いいえ、すべての正多角形の内角が整数になるとは限りません。たとえば正七角形の場合、内角の和は 180° × (7 - 2) ＝ 900° ですが、これを7で割ると「900 ÷ 7 ＝ 128.5714...°」となり割り切れません。入試や学校テストで「1つの内角の大きさ」を直接問われる問題では、割り切れる五角形、六角形、八角形、九角形、十角形、十二角形などが選ばれる傾向にあります。

Q3：テスト本番で公式をど忘れしてしまったら、どうリカバリーすればいい？
A3：まず問題用紙の余白に、簡単な「四角形」と「五角形」を手書きしてください。四角形は対角線で2個、五角形は3個の三角形に分けられます。四角形の内角の和が360度（180×2）、五角形が540度（180×3）であることを確認すれば、「頂点の数より2少ない三角形ができる＝(n-2)」というルールをその場で瞬時に再構築できます。