三角形の面積の求め方総まとめ！基本公式から高校数学の裏技まで徹底解説

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三角形と円が組み合わさった融合問題では、円の半径と面積の相互関係を理解しておくことが不可欠です。

まず、内接円の半径 $r$ と三角形の面積 $S$ の関係式です。三角形を内接円の中心から3つに分割して考えると、それぞれの小さな三角形の高さがすべて $r$ になります。

$S = \frac{1}{2}r(a + b + c)$

この式は、面積 $S$ と3辺の長さが分かっているときに「内接円の半径 $r$」を逆算する道具として非常に頻出します。

一方、外接円の半径 $R$ を用いた三角形の面積公式は次の形をとります。

$S = \frac{abc}{4R}$

これは正弦定理（$\frac{c}{\sin C} = 2R \rightarrow \sin C = \frac{c}{2R}$）を、先ほどの $\sin$ を用いた面積式 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ に代入することで美しく導出できます。公式の成り立ちを知っておくと、試験本番で忘れてしまっても即座に復元可能です。