増減表の書き方を完全攻略！符号判定と矢印の罠を防ぐ解法の極意

話題沸騰中の 増減表の書き方を完全攻略！符号判定と矢印の罠を防ぐ解法の極意について、主要な情報を分かりやすく掲載しています。

高校数学IIの微分における最重要テーマは、3次関数の増減表の作成と、それに伴う極大値と極小値の求め方の完全習得です。高校生向け受験応援メディア「受験のミカタ」の過去問分析データによれば、平成22年から26年に実施された大学入試センター試験本試験において、平成23年を除くすべての年度で増減表や極値、グラフ描画に関する問題が出題されていました。近年の大学入学共通テストや国公立・難関私立大の個別試験においても、配点の核となる頻出領域である事実に変わりはありません。

ここでは、標準的な3次関数 $f(x) = x^3 - 3x$（「高校数学の美しい物語」などでも代表例として扱われる基本モデル）を題材に、絶対にミスの生じない作成手順を整理します。

ステップ1：導関数を求めて因数分解する
関数 $f(x) = x^3 - 3x$ を $x$ で微分すると、$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)$ となります。増減の変わり目となる $f'(x) = 0$ の解を求めると、$x = -1, 1$ の2点が特定されます。

ステップ2：導関数のグラフを描いて符号を判定する
ここで数値代入に頼ってはいけません。余白に $y = f'(x)$ の放物線を素早くスケッチします。このグラフは下に凸の放物線であり、$x$ 軸と $x = -1, 1$ で交わります。グラフが $x$ 軸より上にある部分が正（$+$）、下にある部分が負（$-$）です。これにより、目視だけで以下の符号配置が確定します。

• $x < -1$ の範囲：軸より上なので $f'(x) > 0$（$+$）
• $-1 < x < 1$ の範囲：軸より下なので $f'(x) < 0$（$-$）
• $x > 1$ の範囲：軸より上なので $f'(x) > 0$（$+$）

ステップ3：増減表の枠組みを埋める
1行目に $x$、2行目に $f'(x)$、3行目に $f(x)$ を配置した3段の表を作成し、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値とその前後を「$\cdots$」で繋ぎます。

増加から減少に転じる境界である $x = -1$ で極大値 $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2$ をとり、減少から増加に転じる境界である $x = 1$ で極小値 $f(1) = 1^3 - 3(1) = -2$ をとることが一目瞭然となります。この導関数と符号判定の一貫したルーティンを守るだけで、符号の取り違えは完全に排除されます。